Question

（2012?石家庄二模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CP平分∠ACB，CP与AB交于点D，且 PA=PB．（1）请你

（2012?石家庄二模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CP平分∠ACB，CP与AB交于点D，且 PA=PB．（1）请你过点P分别向AC、BC作垂线，垂足分别为点E、F，并判断四边形PECF的形状；（2）求证：△PAB为等腰直角三角形；（3）设PA=m，PC=n，试用m、n的代数式表示△ABC的周长；（4）试探索当边AC、BC的长度变化时，CDAC+CDBC的值是否发生变化，若不变，请直接写出这个不变的值，若变化，试说明理由．

Answer 1

解答：解：（1）四边形PECF的形状是正方形，理由如下：
过点P分别作PE⊥AC、PF⊥CB，垂足分别为E、F（如图4）
∵∠ACB=90°，又由作图可知PE⊥AC、PF⊥CB，
∴四边形PECF是矩形，
又∵点P在∠ACB的角平分线上，
且PE⊥AC、PF⊥CB，
∴PE=PF，
∴四边形PECF是正方形；
                         
（2）证明：在Rt△AEP和Rt△BFP中，
∵PE=PF，PA=PB，∠AEP=∠BFP=90°，
∴Rt△AEP≌Rt△BFP，
∴∠APE=∠BPF，
∵∠EPF=90°，从而∠APB=90°．
又因为PA=PB，
∴△PAB是等腰直角三角形；    
      
（3）如图4，在Rt△PAB中，∠APB=90°，PA=PB，PA=m，
∴AB=

2

PA=

2

m．                                        
由（2）中的证明过程可知，Rt△AEP≌Rt△BFP，可得AE=BF，CE=CF，
∴CA+CB=CE+EA+CB=CE+CF=2CE，又PC=n，
∴在正方形PECF中，CE=

2

2

PC=

2

2

n．
∴CA+CB=2CE=

2

n．
∴△ABC的周长为：AB+BC+CA=

2

m+

2

n；
               
（4）当边AC、BC的长度变化时，

CD

AC

+

CD

BC

的值不变，

CD

AC

+

CD

BC

＝

2

．理由如下：
如图4，∵∠1=∠2=∠3=∠4=45°，且∠ADC=∠PDB，
∴△ADC∽△PDB，故

CD

BD

＝

AC

PB

，即

CD

AC

＝

BD

PB

，…①
同理可得，△CDB∽△ADP，得到 

CD

BC

＝

BD

PA

，…②
又PA=PB，则①+②得：

CD

AC

+

CD

BC

＝

BD

PB

+

AD

PA

=

BD+AD

PA

=

AB

PA

=

2

．
∴这个值仍不变为

2

．