Question

已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点P是边AB上的一个动点，联结CP，过点B作BD⊥CP,垂足为点D.

已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点P是边AB上的一个动点，联结CP，过点B作BD⊥CP,垂足为点D.
（1）如图1，当CP经过△ABC的重心时，求证:△BCD∽△ABC.
（2）如图2，若BC=2厘米，cotA=2,点P从点A向点B运动（不与点A、B重合），点P的速度是根号5厘米/秒.设点P运动的时间为t秒,△BCD的面积为S平方厘米，求出S关于t的函数解析式，并写出它的定义域.（3）在第(2)小题的条件下,如果△PBC是以CP为腰的等腰三角形,求△BCD的面积.

（1）重心为三条中线交点，CP经过△ABC的重心，说明CP为AB边上中线，即AP=BP.
∴在Rt△ABC中，AP=BP=CP
∴∠BCD=∠ABC
又∵∠BDC=∠ABC=90°
∴△BCD∽△ABC（2）过P作PH⊥AC于H
AP=√5t,cotA=2,易得
PH=t,AH=2t，CH=4-2t
易证△BCD∽△CPH
∴BD/DC=CH/HP=(4-2t)/t
又∵BD²+DC²=BC²=4
∴S=BD*DC/2=16t(2-t)/(5t²-16t+16)
(0<t<2)(3)△PBC是以CP为腰的等腰三角形,有两种可能情况，
(a)PC=PB
过P作BC垂线，易证AP=BP=√5，t=1
S=16/5
(b)PC=BC
易得PB=4√5/5,AP=6√5/5,t=6/5
S=96/25

这是别人的解法。关键在于第二小题的：∴BD/DC=CH/HP=(4-2t)/t，又∵BD +DC²=BC²=4，∴S=BD*DC/2=16t(2-t)/(5t²-16t+16)(0<t<2)这三步有啥关联。我没找出，不知为什么有了BD/DC=CH/HP=(4-2t)/t和BD²+DC²=BC²=4之后。就可以证出S=BD*DC/2=16t(2-t)/(5t²-16t+16)。请问怎么证出来的？。

Answer 1

因为△BCD∽△CPH #有2个角相似的三角形是相似三角形

所以BD/DC=CH/HP=(4-2t)/t #相似三角形的性质
因为BD² DC²=BC²=4 #直角三角勾股定理
所以S=BD*DC/2=16t(2-t)/(5t²-16t 16) #三角形面积计算公式

Answer 2

因为△BCD∽△CPH #有2个角相似的三角形是相似三角形

所以BD/DC=CH/HP=(4-2t)/t #相似三角形的性质
因为BD²+DC²=BC²=4 #直角三角勾股定理
所以S=BD*DC/2=16t(2-t)/(5t²-16t+16) #三角形面积计算公式

追问

这些我知道，我是问S=BD*DC/2=16t(2-t)/(5t²-16t+16)是怎么通过前三步求出来的。就是说BD是等于几t，DC是几t是怎么求出来的。

追答

BD/DC=(4-2t)/t

BD=(4-2t)/t*DC
BD²=(4-2t)²/t²*DC²

而BD²+DC²=4

所以(4-2t)²/t²*DC²+DC²=4
即DC²=4t²/((4-2t)²+t²)
同理
BD²=4(4-2t)²/((4-2t)²+t²)
所以S=BD*DC/2=根号（BD*DC）²/2=16t(2-t)/(5t²-16t+16)

追问

怎么我算出来是4(2-t)/(5t²-16t+16)。。。。。。这差别也太。。。

追答

嗯，应该是你计算的正确。我那个时候没有演算。不好意思啦~~

Answer 3

阿斯达是的