Question

已知函数f(x)＝4x+ax+b(a，b∈R)为奇函数．（Ⅰ）若f（1）=5，求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）当a=-2时，不

已知函数f(x)＝4x+ax+b(a，b∈R)为奇函数．（Ⅰ）若f（1）=5，求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）当a=-2时，不等式f（x）≤t在[1，4]上恒成立，求实数t的最小值；（Ⅲ）当a≥1时，求证：函数g（x）=f（2x）-c（c∈R）在（-∞，-1]上至多有一个零点．

Answer 1

（Ⅰ）∵函数f(x)＝4x+

a

x

+b(a，b∈R)为奇函数，
∴f（-x）=-f（x），即?4x?

a

x

+b＝?4x?

a

x

?b，
∴b=0，
又f（1）=4+a+b=5，
∴a=1
∴函数f（x）的解析式为f(x)＝4x+

1

x

．
（Ⅱ）a=-2，f(x)＝4x?

2

x

．
∵函数y＝4x，y＝?

2

x

在[1，4]均单调递增，
∴函数f（x）在[1，4]单调递增，
∴当x∈[1，4]时，f(x)max＝f(4)＝

31

2

．
∵不等式f（x）≤t在[1，4]上恒成立，
∴t≥

31

2

，
∴实数t的最小值为

31

2

．
（Ⅲ）证明：g(x)＝4?2x+

a

2x

?c，
设x₁＜x₂≤-1，

g(x1)?g(x2)＝(4?2x1+ a 2x1 ?c)?(4?2x2+ a 2x2 ?c) ＝ 4?22x1+x2+a?2x2?4?22x2+x1?a?2x1 2x1+x2 ＝ 4?2x1+x2(2x1?2x2)?a(2x1?2x2) 2x1+x2

=

(4?2x1+x2?a)(2x1?2x2)

2x1+x2

，
∵x₁＜x₂≤-1，
∴x1+x2＜?2，4?2x1+x2＜4?2?2＝1，
∵a≥1，即-a≤-1，
∴4?2x1+x2?a＜0，又2x1?2x2＜0，2x1+x2＞0，
∴g（x₁）-g（x₂）＞0，即g（x₁）＞g（x₂），
∴函数g（x）在（-∞，-1]单调递减，
又c∈R，可知函数g（x）在（-∞，-1]上至多有一个零点．