Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=ax 2 +bx-3（a，b是常数）的图象与x轴交于点A（-3，0）和点B（1

如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=ax 2 +bx-3（a，b是常数）的图象与x轴交于点A（-3，0）和点B（1，0），与y轴交于点C．动直线y=t（t为常数）与抛物线交于不同的两点P、Q．（1）求a和b的值；（2）求t的取值范围；（3）若∠PCQ=90°，求t的值．

Answer 1

（1）将点A、点B的坐标代入可得： a+b-3=0 9a-3b-3=0 ， 解得： a=1 b=2 ； （2）抛物线的解析式为y=x 2 +2x-3，直线y=t， 联立两解析式可得：x 2 +2x-3=t，即x 2 +2x-（3+t）=0， ∵动直线y=t（t为常数）与抛物线交于不同的两点， ∴△=4+4（3+t）＞0， 解得：t＞-4； （3）∵y=x 2 +2x-3=（x+1） 2 -4， ∴抛物线的对称轴为直线x=-1， 当x=0时，y=-3，∴C（0，-3）． 设点Q的坐标为（m，t），则P（-2-m，t）． 如图，设PQ与y轴交于点D，则CD=t+3，DQ=m，DP=m+2． ∵∠PCQ=∠PCD+∠QCD=90°，∠DPC+∠PCD=90°， ∴∠QCD=∠DPC，又∠PDC=∠QDC=90°， ∴△QCD ∽ △CPD， ∴ DQ DC = DC PD ，即 m t+3 = t+3 m+2 ， 整理得：t 2 +6t+9=m 2 +2m， ∵Q（m，t）在抛物线上，∴t=m 2 +2m-3，∴m 2 +2m=t+3， ∴t 2 +6t+9=t+3，化简得：t 2 +5t+6=0 解得t=-2或t=-3， 当t=-3时，动直线y=t经过点C，故不合题意，舍去． ∴t=-2．