Question

如图，已知在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，P是线段AD边上的任意一点（不含端点A、D），连结PC，过点P作PE⊥

如图，已知在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，P是线段AD边上的任意一点（不含端点A、D），连结PC，过点P作PE⊥PC交AB于E． （1）证明△PAE∽△CDP；（2）当点P在AD上运动时，对应的点E也随之在AB上运动，设AP＝x，BE＝y，求y与x的函数关系式及y的取值范围；（3）在线段AD上是否存在不同于P的点Q，使得QC⊥QE？若存在，求线段AP与AQ之间的数量关系；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）证明见解析；（2） ，y＜2；（3）存在，AP+AQ=3，理由见解析.

试题分析：（1）利用矩形的性质可以得到∠A=∠D，利用PE⊥PC可以得到∠APE=∠DCP，从而证明两三角形相似； （2）利用上题证得的三角形相似，列出比例式，进而得到两个变量之间的函数关系； （3）假设存在符合条件的Q点，由于PE⊥PC，且四边形ABCD是矩形，易证得△APE∽△DCP，可得AP?PD=AE?CD，同理可通过△AQE∽△DCQ得到AQ?QD=AE?DC，则AP?PD=AQ?QD，分别用PD、QD表示出AP、AQ，将所得等式进行适当变形即可求得AP、AQ的数量关系． 试题解析：（1）∵四边形ABCD为矩形，∴∠A=∠D=90°，∴∠AEP+∠APE=90°， ∵PE⊥PC，∴∠APE+∠CPD=90°， ∴∠AEP=∠DPC， ∴△PAE∽△CDP； （2）（解法一）∵AP＝x，BE＝y，∴DP＝3－x，AE＝2－y.           4分 ∵△PAE∽△CDP，∴ ，                      5分 即 ，∴ .                     6分 （解法二）∵AP＝x，BE＝y，∴DP＝3－x，AE＝2－y.              4分 ∵∠A=∠D=90°，∴tan∠AEP= , tan∠DPC= , ∵∠AEP=∠DPC，∴tan∠AEP= tan∠DPC. ∴ = , 即 ，∴ . （解法三）∵AP＝x，BE＝y，∴DP＝3－x，AE＝2－y. 如图1，连结CE, ∵∠A=∠B=∠D="90°," ∴AE 2 +AP 2 =PE 2 ,PD 2 +CD 2 =CP 2 ,BE 2 +BC 2 =CE 2 , 又∵∠CPE=90°，∴PE 2 +CP 2 =CE 2 , ∴AE 2 +AP 2 +PD 2 +CD 2 =BE 2 +BC 2 , 即(2-y) 2 +x 2 +(3-x) 2 +2 2 =y 2 +3 2 ,整理得： . ∵ = ， ∴当 时，y有最小值，y的最小值为 ， 又∵点E在AB上运动(显然点E与点A不重合),且AB＝2， ∴ ＜2 综上所述， 的取值范围是 ≤ ＜2； （3）存在，理由如下： 如图2，假设存在这样的点Q，使得QC⊥QE. 由（1）得：△PAE∽△CDP， ∴ ， ∴ ， ∵QC⊥QE，∠D＝90 ° ， ∴∠AQE＋∠DQC＝90 ° ,∠DQC＋∠DCQ＝90°， ∴∠AQE=∠DCQ. 又∵∠A=∠D=90°， ∴△QAE∽△CDQ， ∴ ， ∴ ∴ ， 即 ， ∴ ， ∴ ， ∴ . ∵AP≠AQ，∴AP＋AQ＝3.又∵AP≠AQ，∴AP≠ ，即P不能是AD的中点， ∴当P是AD的中点时，满足条件的Q点不存在， 故当P不是AD的中点时，总存在这样的点Q满足条件，此时AP＋AQ＝3． 考点: 相似三与性质角形的判定；矩形的性质.