Question

已知在矩形ABCD中,AB=2,BC=3,P是线段AD边上的任意一点(不含端点A、D)，连接PC，过点P做PE垂直于PC交AB于E

1.在线段AD上是否存在不同于P的点Q，使得QC垂直于QE？若存在，求线段AP于AQ之间的数量关系；若不存在，说明理由
2.当点P在AD上运动时，对应的E也随之在AB上运动，求BE的取值范围

Answer 1

解：
（1）假设存在这样的点Q；
∵PE⊥PC，∴∠APE+∠DPC=90°，
∵∠D=90°，∴∠DPC+∠DCP=90°，
∴∠APE=∠DCP，又∵∠A=∠D=90°，
∴△APE∽△DCP，
∴ AP/DC= AE/DP，∴AP•DP=AE•DC；
同理可得AQ•DQ=AE•DC；
∴AQ•DQ=AP•DP，即AQ•（3-AQ）=AP•（3-AP），
∴3AQ-AQ2=3AP-AP2，
∴AP2-AQ2=3AP-3AQ，
∴（AP+AQ）（AP-AQ）=3（AP-AQ）；
∵AP≠AQ，
∴AP+AQ=3
∵AP≠AQ，
∴AP≠ 3/2，即P不能是AD的中点，
∴当P是AD的中点时，满足条件的Q点不存在．
当P不是AD的中点时，总存在这样的点Q满足条件，此时AP+AQ=3．
（2）设AP=x，AE=y，由AP•DP=AE•DC可得x（x-3）=2y，
∴y= 12x（3-x）=- 12x2+ 32x=- 12（x- 32）2+ 98，
∴当x= 32（在0＜x＜3范围内）时，y最大值= 98；
而此时BE最小为 78，
∴BE的取值范围是 78≤BE＜2．

Answer 2

（1）假设存在这样的点Q；
∵PE⊥PC，∴∠APE+∠DPC=90°，
∵∠D=90°，∴∠DPC+∠DCP=90°，
∴∠APE=∠DCP，又∵∠A=∠D=90°，
∴△APE∽△DCP，
∴ AP/DC= AE/DP，∴AP•DP=AE•DC；
同理可得AQ•DQ=AE•DC；
∴AQ•DQ=AP•DP，即AQ•（3-AQ）=AP•（3-AP），
∴3AQ-AQ2=3AP-AP2，
∴AP2-AQ2=3AP-3AQ，
∴（AP+AQ）（AP-AQ）=3（AP-AQ）；
∵AP≠AQ，
∴AP+AQ=3
∵AP≠AQ，
∴AP≠ 3/2，即P不能是AD的中点，
∴当P是AD的中点时，满足条件的Q点不存在．
当P不是AD的中点时，总存在这样的点Q满足条件，此时AP+AQ=3．
（2）设AP=x，AE=y，由AP•DP=AE•DC可得x（x-3）=2y，
∴y= 12x（3-x）=- 12x2+ 32x=- 12（x- 32）2+ 98，
∴当x= 32（在0＜x＜3范围内）时，y最大值= 98；
而此时BE最小为 78，
∴BE的取值范围是 78≤BE＜2．

Answer 3

解：
（1）假设存在这样的点Q；
∵PE⊥PC，∴∠APE+∠DPC=90°，
∵∠D=90°，∴∠DPC+∠DCP=90°，
∴∠APE=∠DCP，又∵∠A=∠D=90°，
∴△APE∽△DCP，
∴ AP/DC= AE/DP，∴AP•DP=AE•DC；
同理可得AQ•DQ=AE•DC；
∴AQ•DQ=AP•DP，即AQ•（3-AQ）=AP•（3-AP），
∴3AQ-AQ2=3AP-AP2，
∴AP2-AQ2=3AP-3AQ，
∴（AP+AQ）（AP-AQ）=3（AP-AQ）；
∵AP≠AQ，
∴AP+AQ=3
∵AP≠AQ，
∴AP≠ 3/2，即P不能是AD的中点，
∴当P是AD的中点时，满足条件的Q点不存在．
当P不是AD的中点时，总存在这样的点Q满足条件，此时AP+AQ=3．
（2）设AP=x，AE=y，由AP•DP=AE•DC可得x（x-3）=2y，
∴y= 12x（3-x）=- 12x2+ 32x=- 12（x- 32）2+ 98，
∴当x= 32（在0＜x＜3范围内）时，y最大值= 98；
而此时BE最小为 78，
∴BE的取值范围是 78≤BE＜2．

Answer 4

（1）假设存在这样的点Q；
∵PE⊥PC，∴∠APE+∠DPC=90°，
∵∠D=90°，∴∠DPC+∠DCP=90°，
∴∠APE=∠DCP，又∵∠A=∠D=90°，
∴△APE∽△DCP，
∴ AP/DC= AE/DP，∴AP•DP=AE•DC；
同理可得AQ•DQ=AE•DC；
∴AQ•DQ=AP•DP，即AQ•（3-AQ）=AP•（3-AP），
∴3AQ-AQ2=3AP-AP2，
∴AP2-AQ2=3AP-3AQ，
∴（AP+AQ）（AP-AQ）=3（AP-AQ）；
∵AP≠AQ，
∴AP+AQ=3
∵AP≠AQ，
∴AP≠ 3/2，即P不能是AD的中点，
∴当P是AD的中点时，满足条件的Q点不存在．
当P不是AD的中点时，总存在这样的点Q满足条件，此时AP+AQ=3．
（2）设AP=x，AE=y，由AP•DP=AE•DC可得x（x-3）=2y，
∴y= 12x（3-x）=- 12x2+ 32x=- 12（x- 32）2+ 98，
∴当x= 32（在0＜x＜3范围内）时，y最大值= 98；
而此时BE最小为 78，
∴BE的取值范围是 78≤BE＜2．

Answer 5

解： （1）假设存在这样的点Q； ∵PE⊥PC，∴∠APE ∠DPC=90°， ∵∠D=90°，∴∠DPC ∠DCP=90°， ∴∠APE=∠DCP，又∵∠A=∠D=90°， ∴△APE∽△DCP， ∴ AP/DC= AE/DP，∴AP•DP=AE•DC； 同理可得AQ•DQ=AE•DC； ∴AQ•DQ=AP•DP，即AQ•（3-AQ）=AP•（3-A P）， ∴3AQ-AQ2=3AP-AP2， ∴AP2-AQ2=3AP-3AQ， ∴（AP AQ）（AP-AQ）=3（AP-AQ）； ∵AP≠AQ， ∴AP AQ=3 ∵AP≠AQ， ∴AP≠ 3/2，即P不能是AD的中点， ∴当P是AD的中点时，满足条件的Q点不存在． 当P不是AD的中点时，总存在这样的点Q满足条 件，此时AP AQ=3． （2）设AP=x，AE=y，由AP•DP=AE•DC可得x （x-3）=2y， ∴y= 12x（3-x）=- 12x2 32x=- 12（x- 32）2 98， ∴当x= 32（在0＜x＜3范围内）时，y最大值= 9 8； 而此时BE最小为 78， ∴BE的取值范围是 78≤BE＜2．