Question

已知在矩形ABCD中,AB=2，BC=3，P是线段AD边上的任意一点（不含端点A、D）,连接PC，过点P作PE⊥PE交AB于E。

（1）在线段AD上是否存在不同于P的点，使得QC⊥QE？若存在，求线段AP与AQ之间的数量关系；若不存在，请说明理由。
（2）设AP=x，BE=y，当点P在AD上运动时，对应的点E也随之在AB上运动，求y和x之间的关系

Answer 1

解：
（1）假设存在这样的点Q；
∵PE⊥PC，∴∠APE+∠DPC=90°，
∵∠D=90°，∴∠DPC+∠DCP=90°，
∴∠APE=∠DCP，又∵∠A=∠D=90°，
∴△APE∽△DCP，
∴ AP/DC= AE/DP，∴AP•DP=AE•DC；
同理可得AQ•DQ=AE•DC；
∴AQ•DQ=AP•DP，即AQ•（3-AQ）=AP•（3-AP），
∴3AQ-AQ2=3AP-AP2，
∴AP2-AQ2=3AP-3AQ，
∴（AP+AQ）（AP-AQ）=3（AP-AQ）；
∵AP≠AQ，
∴AP+AQ=3
∵AP≠AQ，
∴AP≠ 3/2，即P不能是AD的中点，
∴当P是AD的中点时，满足条件的Q点不存在．
当P不是AD的中点时，总存在这样的点Q满足条件，此时AP+AQ=3．
（2）设AP=x，AE=y，由AP•DP=AE•DC可得x（x-3）=2y，
∴y= 12x（3-x）=- 12x2+ 32x=- 12（x- 32）2+ 98，
∴当x= 32（在0＜x＜3范围内）时，y最大值= 98；
而此时BE最小为 78，
∴BE的取值范围是 78≤BE＜2．

Answer 2

1.存在Q点 AP与AQ的数量关系没法求
2.是否存在Q点　其实是第二小问来证明的
直角三角形PEC　勾股定理PE＾2＋PC＾2＝EC＾2　
即是　（2—Y）＾2＋X＾2＋（3－X）＾2＋4＝9＋Y＾2
化简　4＋X＾2－3X＝2Y　
然后画出抛物线　X Y取值范围 你都知道了吧
不懂欢迎继续询问

Answer 3

解：
（1）假设存在这样的点Q；
∵PE⊥PC，∴∠APE+∠DPC=90°，
∵∠D=90°，∴∠DPC+∠DCP=90°，
∴∠APE=∠DCP，又∵∠A=∠D=90°，
∴△APE∽△DCP，
∴ AP/DC= AE/DP，∴AP•DP=AE•DC；
同理可得AQ•DQ=AE•DC；
∴AQ•DQ=AP•DP，即AQ•（3-AQ）=AP•（3-AP），
∴3AQ-AQ2=3AP-AP2，
∴AP2-AQ2=3AP-3AQ，
∴（AP+AQ）（AP-AQ）=3（AP-AQ）；
∵AP≠AQ，
∴AP+AQ=3
∵AP≠AQ，
∴AP≠ 3/2，即P不能是AD的中点，
∴当P是AD的中点时，满足条件的Q点不存在．
当P不是AD的中点时，总存在这样的点Q满足条件，此时AP+AQ=3．

Answer 4

解：（1）假设存在这样的点Q；
∵PE⊥PC，
∴∠APE+∠DPC=90°，
∵∠D=90°，
∴∠DPC+∠DCP=90°，
∴∠APE=∠DCP，
又∵∠A=∠D=90°，
∴△APE∽△DCP，
∴APDC=AEDP，
∴AP•DP=AE•DC；
同理可得AQ•DQ=AE•DC；
∴AQ•DQ=AP•DP，即AQ•（3-AQ）=AP•（3-AP），
∴3AQ-AQ2=3AP-AP2，
∴AP2-AQ2=3AP-3AQ，
∴（AP+AQ）（AP-AQ）=3（AP-AQ）；
∵AP≠AQ，
∴AP+AQ=3（2分）
∵AP≠AQ，
∴AP≠32，即P不能是AD的中点，
∴当P是AD的中点时，满足条件的Q点不存在．
当P不是AD的中点时，总存在这样的点Q满足条件，此时AP+AQ=3．

（2）设AP=x，AE=y，由AP•DP=AE•DC可得x（3-x）=2y，
∴y=12x（3-x）=-12x2+32x=-12（x-32）2+98，
∴当x=32（在0＜x＜3范围内）时，y最大值=98；
而此时BE最小为78，
又∵E在AB上运动，且AB=2，
∴BE的取值范围是78≤BE＜2．

Answer 5

解：（1）假设存在这样的点Q；
∵PE⊥PC，∴∠APE+∠DPC=90°，
∵∠D=90°，∴∠DPC+∠DCP=90°，
∴∠APE=∠DCP，又∵∠A=∠D=90°，
∴△APE∽△DCP，
∴ AP/DC= AE/DP，∴AP•DP=AE•DC；
同理可得AQ•DQ=AE•DC；
∴AQ•DQ=AP•DP，即AQ•（3-AQ）=AP•（3-AP），
∴3AQ-AQ2=3AP-AP2，
∴AP2-AQ2=3AP-3AQ，
∴（AP+AQ）（AP-AQ）=3（AP-AQ）；
∵AP≠AQ，
∴AP+AQ=3
∵AP≠AQ，
∴AP≠ 3/2，即P不能是AD的中点，
∴当P是AD的中点时，满足条件的Q点不存在．
当P不是AD的中点时，总存在这样的点Q满足条件，此时AP+AQ=3．
（2）设AP=x，AE=y，由AP•DP=AE•DC可得x（x-3）=2y，
∴y= 12x（3-x）=- 12x2+ 32x=- 12（x- 32）2+ 98，
∴当x= 32（在0＜x＜3范围内）时，y最大值= 98；
而此时BE最小为 78，
∴BE的取值范围是 78≤BE＜2．