Question

设函数f（x）=ax+ 1 x+b （a，b∈Z），曲线y=f（x）在点（2，f（2）处的切线方程为y=3．（1）

设函数f（x）=ax+ 1 x+b （a，b∈Z），曲线y=f（x）在点（2，f（2）处的切线方程为y=3．（1）求f（x）的解析式；（2）证明：曲线y=f（x）上任一点的切线与直线x=1和直线y=x三角形的面积为定值，并求出此定值．

Answer 1

（1）f′（x）=a- 1 (x+b ) 2 ， 于是 2a+ 1 2+b =3 a- 1 (a+b ) 2 =0 解得 a=1 b=-1 或 a= 9 4 b=- 8 3 因a，b∈Z，故f（x）=x+ 1 x-1 ． （2）证明：在曲线上任取一点（x 0 ，x 0 + 1 x 0 -1 ）． 由f′（x 0 ）=1- 1 ( x 0 -1 ) 2 知，过此点的切线方程为y- x 20 - x 0 +1 x 0 -1 =[1- 1 ( x 0 -1) 2 ]（x-x 0 ）． 令x=1得y= x 0 +1 x 0 -1 ，切线与直线x=1交点为（1， x 0 +1 x 0 -1 ）． 令y=x得y=2x 0 -1，切线与直线y=x交点为（2x 0 -1，2x 0 -1）． 直线x=1与直线y=x的交点为（1，1）． 从而所围三角形的面积为 1 2 | x 0 +1 x 0 -1 -1|?|2x 0 -1-1|= 1 2 | 2 x 0 -1 ||2x 0 -2|=2． 所以，所围三角形的面积为定值2．