Question

已知函数f（x）=ax3+bx，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程...

已知函数f（x）=ax3+bx，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=2x-2，则过点（2，2）能作几条直线与曲线y=f（x）相切？（　　）A．0B．1C．2D．3

Answer 1

解：f（x）的导数f′（x）=3ax2+b，
由于y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=2x-2，
则f′(1)=2f(1)=2-2=0，即3a+b=2a+b=0，解得a=1b=-1，
即有f（x）=x3-x，
设过点（2，2）的直线与曲线y=f（x）相切于点（t，f（t）），
则切线方程为：y-f（t）=f′（t）（x-t），
即y=（3t2-1）x-2t3
由切线过点（2，2）得：2=（3t2-1）•2-2t3，
过点（2，2）可作曲线y=f（x）的切线条数就是方程t3-3t2+2=0的实根个数，
令g（t）=t3-3t2+2，则g′（t）=3t（t-2）
由g′（t）=0得t1=0，t2=2
当t变化时，g（t）、g′（t）的变化如下表
t（-∞，0）0（0，2）2（2，+∞）g′（t）+0-0+g（t）↗极大值2↘极小值-2↗由g（0）•g（2）=-4＜0知，故g（t）=0有三个不同实根可作三条切线．
故选D．