Question

函数f（x）=x^3+ax^2+bx+c，过曲线y=f（x）上的点（1，f（1））的切线方程为y=3x+1。在线等回复

问题：若函数y=f（x）在区间（负无穷，1）上单调递增，求b的取值范围
看清楚了，不是【-3,1】，别乱抄

Answer 1

1、求导f'(x)=3x^2+2ax+b
f'(1)=3 f(1)=4
3+2a+b=3 1+a+b+c=4
a=-1/2b c=3-1/2b
f(x)在负无穷<x<1上单调递增
f'(x)开口向上
（1）f'(x)=0的判别式<=0显然满足题意，则0<=b<=12
（2）判别式>0，即b<0 b>12
则f’（x）=0有根，则必须两根都大于1，结合f'(1)=3>0
只要f‘(x)的对称轴x=-1/3a>1即可，则b>6
即b>12
综合1、2 b的取值范围是b>=0

追问

我看了一下，好像上面是对的，b≥3

追答

f'(1)=3.他的（1）式写的是f’（1）=0
还是正确的？
二楼的f‘（1）=1+a+b+c
没有c，这里也写错了

追问

(⊙o⊙)哦，对哦，让我再看看

追答

还可以这么做
a=-1/2b c=3-1/2b
f'(x)=3x^2-bx+b>=0在x=-3x^2/(1-x)恒成立
也就是b>=max{-3x^2/(1-x)}
又-3x^2/(1-x)=-3（(1-x)+1/(1-x)-2）=0

追问

我发现六楼的方法比你好诶......

Answer 2

【1】
切线是y=3x＋1，则切点是(1，4)，则：
1、f'(x)=3x²＋2ax＋b，得：
f'(1)=3＋2a＋b=0 ------------------------------(1)
2、切点在f(x)上，得：
f(1)=1＋a＋b＋c=4 ----------------------------(2)
由(1)、(2)，得：
a=c－6
b=9－2c
则：f'(x)=3x²＋2(c－6)x＋(9－2c)在区间(－∞，1)上递增，则：
f'(x)≥0
3x²＋2(c－6)x＋(9－2c)≥0
[3x＋(2c－9)]×[x－1]≥0
结合图像，得：－(2c－9)/3≥1，得：c≤3
则：(9－b)/2≤3
得：b≥3

追问

兄弟怎么改了

追答

原先做错了。。

追问

呵呵.......没事，那最佳就给二楼了，不过还是谢谢你

追答

方法是我的好，因式分解，比求根的好。

追问

.........我开始怀疑答案了，你再看看，我再算算

Answer 3

x=1时，直线y=3x+1过点(1,4)，即切点为(1,4)，切线斜率为3。
f'(x)=3x^2+2ax+b。
f(1)=1+a+b+c=4、f'(1)=3+2a+b+c=3。
解得：a=-3、c=6-b。
f(x)=x^3-3x^2+bx+6-b，f'(x)=3x^2-6x+b=3(x-1)^2+b-3。
若b-3>=0，即b>=3，f'(x)>=0，f(x)在R上单调递增，命题成立。
若b-3<0，即b<3，则f'(x)=3(x-1)^2+b-3=0，x=1-√(1-b/3)、x=1+√(1-b/3)。
f(x)在区间(-无穷,1-√(1-b/3))上递增，而1-√(1-b/3)<1，不可能在区间(-无穷,1)上递增。
所以，b的取值范围是[3,+无穷)。

追问

兄弟，你确实有一步写错了

追答

你傻吧

追问

SB写错了..............

追答

SB采个错的

追问

烧饼做的导函数里面还有c

追答

导数里有C是SB

追问

f'(1)=3+2a+b+c=3是不是你写的......我不想多说了

Answer 4

f(x)=x^3+ax^2+bx+c
f'(x)=3x^2+2ax+b
x=1
f'(1)=3+2a+b f'(1)=3 2a+b=0 b=-2a
y=3x+1
y=3(x-1)+4 f(1)=4

f'(x)=3x^2+2ax+b=3x^2-bx+b =3x^2+b(1-x)
x<1,f'(x)>0 b>0
取值范围 b>0

追问

兄弟，方法不错，赞~\(≧▽≦)/~

Answer 5

解:1)求导函数f'(x)=3x^2+2ax+b
由题意:3*1^2+2*1*a+b=3 (Ⅰ)
3*(-2)^2-2*2*a+b=0
则 a=2 b= -4
又p点(1,4),代入函数得:c=5
故f(x)=x^3+2x^2-4x+5
2)导函数f'(x)=3x^2+4x-4
令f'(x)=0得:
x1=-2 x2=2/3
将极值点和两个端点依次代入函数知最大值13
3)欲单调递增,需导函数再此区间上的值恒大于等于0
f'(x)=3x^2+2ax+b
由(Ⅰ)知f'(x)=3x^2-bx+b
对称轴x=b/6
当b/6≤-3时,f'(-3)≥0 得:x无解
当-3＜b/6≤1时,(b-b^2/12)≥0 得:0≤b≤6
当b/6＞1时,f'(1)≥0 得 :b＞6
综上: b≥0

追问

没有看清问题就盲目抄袭别人的答案是可耻的..........我写的是负无穷诶

Answer 6

解:1)求导函数f'(x)=3x^2+2ax+b
f'(1)=3+2a+b=3，可以得到a=-1/2b
2)对于f'(x)=3x^2+2ax+b，即f'(x)=3x^2-bx+b，对称线是x=b/6
若函数y=f（x）在区间（负无穷，1）上单调递增，且由导函数开口向上可知，下面分两种情况：
当b/6<1时，即b<6时，f'（b/6）=b-b^2/12>=0，0<=b<=12，整理得：1<=b<6
当b/6>=1时，即b>=6时，f'（1）=3>0，整理得：b>=6
综上，b>=1
不知道为什么，我用另一种方法做的结果与此有异，我再看看，先给你个参考。

追问

..........好多种答案，看的眼睛都晕了