Question

如图，三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC，AB⊥BC，DE垂直平分PC，且分别交AC、PC于D、E两点，又PB=BC，PA=AB．

如图，三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC，AB⊥BC，DE垂直平分PC，且分别交AC、PC于D、E两点，又PB=BC，PA=AB．（Ⅰ）求证：PC⊥平面BDE；（Ⅱ）若点Q是线段PA上任一点，求证：BD⊥DQ；（Ⅲ）求线段PA上点Q的位置，使得PC ∥ 平面BDQ．

Answer 1

（Ⅰ）证明：由等腰三角形PBC，得BE⊥PC 又DE垂直平分PC， ∴DE⊥PC ∴PC⊥平面BDE，（4分） （Ⅱ）由（Ⅰ），有PC⊥BD 因为PA⊥底面ABC，所以PA⊥BD BD⊥平面PAC，所以点Q是线段PA上任一点都有 BD⊥DQ（8分） （Ⅲ）不妨令PA=AB=1，有PB=BC= 2 计算得AD= 3 3 = 1 3 AC所以点Q在线段PA的 1 3 处， 即AQ= 1 3 AP时，PC ∥ QD，从而PC ∥ 平面BDQ．（12分）