Question

如图，在三棱锥SABC中，SA⊥底面ABC，AB⊥BC．DE垂直平分SC，且分别交AC、SC于D、E．又SA=AB，SB=BC．求

如图，在三棱锥SABC中，SA⊥底面ABC，AB⊥BC．DE垂直平分SC，且分别交AC、SC于D、E．又SA=AB，SB=BC．求以BD为棱，以BDE与BDC为面的二面角的度数．

Answer 1

由于SB=BC，且E是SC的中点，因此BE是等腰三角形SBC的底边SC的中线，所以SC⊥BE． 又已知SC⊥DE，BE∩DE=E， ∴SC⊥面BDE， ∴SC⊥BD． 又∵SA⊥底面ABC，BD在底面ABC上， ∴SA⊥BD． 而SC∩SA=S，∴BD⊥面SAC． ∵DE=面SAC∩面BDE，DC=面SAC∩面BDC， ∴BD⊥DE，BD⊥DC． ∴∠EDC是所求的二面角的平面角． ∵SA⊥底面ABC，∴SA⊥AB，SA⊥AC． 设SA=a，则AB=a，BC=SB= 2 a ∵AB⊥BC，∴AC= 3 a ，在Rt△SAC中tan∠ACS= 3 3 ∴∠ACS=30°． 又已知DE⊥SC，所以∠EDC=60°，即所求的二面角等于60°．