Question

如图所示，正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中底面边长为22，侧棱长为4，E、F分别为棱AB，BC的中点．（1）求证：平

如图所示，正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中底面边长为22，侧棱长为4，E、F分别为棱AB，BC的中点．（1）求证：平面B1EF⊥平面BDD1B1；（2）计算三棱锥B1-EBF的体积．

Answer 1

（1）证明：连结AC，
∵正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中底面ABCD是正方形，∴AC⊥BD，
∵E、F分别为棱AB，BC的中点，
∴EF∥AC，∴EF⊥BD，
∵正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，BB₁⊥ABCD，
又EF?面ABCD，∴FE⊥BB₁，
∵BD∩BB₁=B，∴EF⊥平面平面BDD₁B₁，
∵EF?平面B₁EF，
∴平面B₁EF⊥平面BDD₁B₁．
（2）解：∵正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中底面边长为2

2

，
侧棱长为4，E、F分别为棱AB，BC的中点，
∴BE=BF=

2

，BB₁⊥平面B₁EF，且BB₁=4，
∴三棱锥B₁-EBF的体积：
V=

1

3

×S△B1EF×BB1
=

1

3

×

1

2

×

2

×

2

×4=

4

3

．