Question

已知：椭圆Cx2a2+y2b2＝1（a＞b＞0）的离心率为e＝12，且椭圆与x轴的两个交点之间的距离为4（1）求椭圆的

已知：椭圆Cx2a2+y2b2＝1（a＞b＞0）的离心率为e＝12，且椭圆与x轴的两个交点之间的距离为4（1）求椭圆的标准方程（2）若直线L：y=kx+m与椭圆相交于A，B两点（A，B不是左右顶点），且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．

Answer 1

（1）解：依题意知2a=4，则a=2，
又e＝

c

a

＝

1

2

，∴c=1，得b²=a²-c²=3，
∴椭圆C的方程是：

x2

4

+

y2

3

＝1；
（2）证明：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
知椭圆C的右顶点为M（2，0），
由

y＝kx+m x2 4 + y2 3 ＝1

，得（3+4k²）x²+8mkx+4（m²-3）=0，
且△=3+4k²-m²，
x1+x2＝?

8mk

3+4k2

，x1x2＝

4(m2?3)

3+4k2

．
而AM⊥BM，即

AM

?

BM

＝0，
∴

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