Question

已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的离心率为32，且在x轴上的顶点...

已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的离心率为32，且在x轴上的顶点分别为A1（-2，0），A2（2，0）． （1）求椭圆方程； （2）若直线l：x=t（t＞2）与x轴交于点T，P为l上异于T的任一点，直线PA1、PA2分别与椭圆交于M、N两点，试问直线MN是否通过椭圆的焦点？并证明你的结论．

Answer 1

解：（1）由已知椭圆C的离心率e=ca=32，a=2，可得
c=3，b=1，
∴椭圆的方程为x24+y2=1．
（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），直线A1M斜率为k1，则直线A1M的方程为y=k1（x+2），
由y=k1(x+2)x24+y2=1，解得x1=-8k21+24k21+1，y1=4k14k21+1，∴M点坐标为（-8k21+24k21+1，4k14k21+1）．
同理，设直线A2N的斜率为k2则N点坐标为（8k22-24k22+1，-4k24k22+1）．
由直线A1M与直线A2N的交点P（t，yp）在直线l上，
又yp=k1（t+2），yp=k2（t-2），∴k1（t+2）=k2（t-2），∴k1-k2k1+k2=-2t．
又MN的方程为y-y1x-x1=y2-y1x2-x1，令y=0，得
x=x2y1-x1y2y1-y2=4t．
即直线MN与x轴交点为(4t，0)，又t＞2，∴0＜4t＜2．
又椭圆右焦点为(3，0)，故当
t=433时，MN过椭圆的焦点．