Question

高中数学问题，求高手速解答

在Rt△ABC，∠c=90°，△ABC所在的平面内一点P满足向量PA+向量PB+μ向量PC=向量0，则向量PA²+向量PB²/向量PC²的最小值为多少？

Answer 1

以C为原点，CA为x轴正向，CB为y轴正向建立直角坐标系
设点A（a，0），点B（0，b），点P（x，y）
则PA=（a-x，-y），PB=（-x，b-y），PC=（-x，-y）
PA+PB+λPC=0
得a-x-x-λx=0，-y+b-y-λy=0
x=a/（2+λ），y=b/（2+λ）
|PA|²=（a-x）²+y²=[（1+λ）²a²+b²]/（2+λ）²
|PB|²=x²+（b-y）²=[a²+（1+λ）²b²]/（2+λ）²
|PC|²=(a²+b²）/（2+λ）²
于是（|PA|²+|PB|²）/|PC|²=（1+λ）²+1≥1，当λ=-1时取最小值1

Answer 2

1 前一个条件知道他可以构成三角形

追问

能说下过程么

追答

简单的方法是你画一个直角三角形取斜边中点作为圆心做外接圆，P点在圆内无法构成三角形，P在圆上可构成直角三角形则等于1在圆外是锐角三角形，大于一。另一个回答虽然繁琐但严谨写，如果是填空用这个就好