Question

若方程lgkx=2lg（x+1）仅有一个实根，那么k的取值范围是______

若方程lgkx=2lg（x+1）仅有一个实根，那么k的取值范围是______．

Answer 1

由题意，当k＞0时，函数定义域是（0，+∞），当k＜0时，函数定义域是（-1，0） 当k＞0时，lgkx=2lg（x+1） ∴lgkx-2lg（x+1）=0 ∴lgkx-lg（x+1） 2 =0，即kx=（x+1） 2 在（0，+∞）仅有一个解 ∴x 2 -（k-2）x+1=0在（0，+∞）仅有一个解 令f（x）=x 2 -（k-2）x+1 又当x=0时，f（x）=x 2 -（k-2）x+1=1＞0 ∴△=（k-2） 2 -4=0 ∴k-2=±2 ∴k=0舍，或4 k=0时lgkx无意义，舍去 ∴k=4 当k＜0时，函数定义域是（-1，0） 函数y=kx是一个递减过（-1，-k）与（0，0）的线段，函数y=（x+1） 2 在（-1，0）递增且过两点（-1，0）与（0，1），此时两曲线段恒有一个交点，故k＜0符合题意 故答案为：k=4或k＜0．

Answer 2

lgkx=2lg(x+1)=lg(x+1)^2,kx=(x+1)^2=x^2+2x+1x^2+(2-k)x+1=0.有且仅有一个实根(2-k)^2-4=02-k=2,k=0,(不符,舍)2-k=-2,
k=4.