Question

如图，在正方ABCD中，E是AB边上任一点，BG⊥CE，垂足为O，交AC于点F，交AD于点G．（1）证明：BE=AG；（2

如图，在正方ABCD中，E是AB边上任一点，BG⊥CE，垂足为O，交AC于点F，交AD于点G．（1）证明：BE=AG；（2）E位于什么位置时，∠AEF=∠CEB？说明理由．

Answer 1

（1）证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ABC=90°， ∴∠1+∠3=90°． ∵BG⊥CE， ∴∠BOC=90°． ∴∠2+∠3=90°． ∴∠1=∠2． 在△GAB和△EBC中， ∵∠GAB=∠EBC=90°，AB=BC，∠1=∠2， ∴△GAB≌△EBC（ASA）． ∴AG=BE． （2）当点E位于线段AB中点时，∠AEF=∠CEB．理由如下： 当点E位于线段AB中点时，AE=BE； 由（1）知，AG=BE， ∴AG=AE； ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠GAF=∠EAF=45°； 又∵AF=AF， ∴△GAF≌△EAF（SAS）； ∴∠AGF=∠AEF； 由（1）知，△GAB≌△EBC； ∴∠AGF=∠CEB； ∴∠AEF=∠CEB．