Question

已知函数f（x）=loga（1+x），g（x）=loga（1-x），（a＞0，且a≠1）（1）求函数f（x）-g（x）定义域；判

已知函数f（x）=loga（1+x），g（x）=loga（1-x），（a＞0，且a≠1）（1）求函数f（x）-g（x）定义域；判断函数f（x）-g（x）的奇偶性，并予以证明；（2）求使f（x）-g（x）＞0的x的取值范围．

Answer 1

（1）使函数f（x）-g（x）有意义，必须有：

1+x＞0 1?x＞0

    解得：-1＜x＜1
所以函数f（x）-g（x）的定义域是{x|-1＜x＜1}             …（4分）
函数f（x）-g（x）是奇函数
证明：∵x∈（-1，1），-x∈（-1，1），…．…（5分）
f（-x）-g（-x）=log_a（1-x）-log_a（1+x）
=-[log_a（1+x）-log_a（1-x）]=-[f（x）-g（x）]
∴函数f（x）-g（x）是奇函数                               …（8分）
（2）使f（x）-g（x）＞0，即log_a（1+x）＞log_a（1-x）
当a＞1时，有

1+x＞1?x 1?x＞0 1+x＞0

  解得x的取值范围是（0，1）…（10分）
当0＜a＜1时，有

1+x＜1?x 1?x＞0 1+x＞0

  解得x的取值范围是（-1，0）…（12分）