Question

设L是柱面x2+y2=1和平面y+z=0的交线，从z轴正方向往负方向看是逆时针方向，则曲线积分∮Lzdx+ydz=______

设L是柱面x2+y2=1和平面y+z=0的交线，从z轴正方向往负方向看是逆时针方向，则曲线积分∮Lzdx+ydz=______．

Answer 1

结果等于：π

解题过程：

扩展资料

性质:

设有一曲线形构件占xOy面上的一段曲线 ，设构件的密度分布函数为ρ(x,y)，设ρ(x,y)定义在L上且在L上连续，求构件的质量。

对于密度均匀的物件可以直接用ρV求得质量；对于密度不均匀的物件，就需要用到曲线积分,dm=ρ(x,y)ds，所以m=∫ρ(x,y)ds；L是积分路径，∫ρ(x,y)ds是对弧长的曲线积分。

曲线积分的区别主要在于积分元素的差别；对弧长的曲线积分的积分元素是弧长元素ds；例如：对L的曲线积分∫f(x,y)*ds 。对坐标轴的曲线积分的积分元素是坐标元素dx或dy，例如：对L’的曲线积分∫P（x,y）dx+Q(x,y)dy。但是对弧长的曲线积分由于有物理意义，通常说来都是正的，而对坐标轴的曲线积分可以根据路径的不同而取得不同的符号 。

Answer 2

由斯托克斯公式

∮

L

Pdx+Qdy+Rdz=

?

.

dydz dzdx dxdy ? ?x ? ?y ? ?z P Q R

.

可知
∮_Lzdx+ydz=

?

.

dydz dzdx dxdy ? ?x ? ?y ? ?z z 0 y

.

=

?

dydz+dxdy
其中Σ：

y+z＝0 x2+y2≤1

取上侧，Dxy＝{(x，y)|x2+y2≤1}．
因而∑在yoz面的投影为0，
∴∮_Lzdx+ydz=

?

dxdy＝

?

Dxy

dxdy＝π．