Question

如图，抛物线y=x 2 ﹣2x+c的顶点A在直线l：y=x﹣5上． （1）求抛物线顶点A的坐标；（2）设抛物线与y轴交

如图，抛物线y=x 2 ﹣2x+c的顶点A在直线l：y=x﹣5上． （1）求抛物线顶点A的坐标；（2）设抛物线与y轴交于点B，与x轴交于点C．D（C点在D点的左侧），试判断△ABD的形状；（3）是否存在一点P，使以点P、A．B．D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）A（1，﹣4）；（2）△ABD是直角三角形； （3）存在，P（﹣2，﹣7），P（4，﹣1），P（2.1）

试题分析：（1）先根据抛物线的解析式得出其对称轴方程，由此得到顶点A的横坐标，然后代入直线l的解析式中即可求出点A的坐标． （2）由A点坐标可确定抛物线的解析式，进而可得到点B的坐标．则AB、AD、BD三边的长可得，然后根据边长确定三角形的形状． （3）若以点P、A、B、D为顶点的四边形是平行四边形，应分①AB为对角线、②AD为对角线两种情况讨论，然后结合勾股定理以及边长的等量关系列方程求出P点的坐标． （1）∵顶点A的横坐标为 ，且顶点在y=x﹣5上， ∴当x=1时，y=1-5=-4， ∴A（1，-4）． （2）将A（1，-4）代入y=x 2 -2x+c，可得，1-2+c=-4，c=-3， ∴y=x 2 -2x-3， ∴B（0，-3） 当y=0时，x 2 -2x-3=0，x 1 =-1，x 2 =3 ∴C（-1，0），D（3，0）， ∵BD 2 =OB 2 +OD 2 =18，AB 2 =（4-3） 2 +1 2 =2，AD 2 =（3-1） 2 +4 2 =20， ∴BD 2 +AB 2 =AD 2 ， ∴∠ABD=90°，即△ABD是直角三角形． （3）由题意知：直线y=x-5交y轴于点E（0，-5），交x轴于点F（5，0） ∴OE=OF=5， 又∵OB=OD=3 ∴△OEF与△OBD都是等腰直角三角形 ∴BD∥l，即PA∥BD 则构成平行四边形只能是PADB或PABD，如图， 过点P作y轴的垂线，过点A作x轴的垂线交过P且平行于x轴的直线于点G． 设P（x 1 ，x 1 -5），则G（1，x 1 -5） 则PG=|1-x 1 |，AG=|5-x 1 -4|=|1-x 1 | PA=BD=3 由勾股定理得： （1-x 1 ） 2 +（1-x 1 ） 2 =18，x 1 2 -2x 1 -8=0，x 1 =-2或4 ∴P（-2，-7）或P（4，-1）， 存在点P（-2，-7）或P（4，-1）使以点A、B、D、P为顶点的四边形是平行四边形． 点评：解答本题的关键是熟练掌握勾股定理及其逆定理，在复杂的图形中找出基本的图形.