Question

如图甲，在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上一点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF． 解

如图甲，在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上一点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF． 解答下列问题： （1）如果AB=AC，∠BAC=90°， ①当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图乙，线段CF，BD之间的位置关系为 _________ ，数量关系为 _________ ． ②当点D在线段BC的延长线时，如图丙，①中的结论是否仍然成立，为什么？ （2）如果AB⊥AC，∠BAC≠90°，点D在线段BC上运动． 试探究：当△ABC满足一个什么条件时，CF⊥BC（点C，F重合除外）画出相应图形，并说明理由．（画图不写作法） （3）若AC=4 ，BC=3，在（2）的条件下，设正方形ADEF的边DE与线段CF相交于点P，求线段CP长的最大值．

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Answer 1

解：（1）①CF与BD位置关系是垂直，数量关系是相等 ②当点D在BC的延长线上时①的结论仍成立 由正方形ADEF得AD=AF，∠DAF=90度 ∵∠BAC=90°，∴∠DAF=∠BAC，∴∠DAB=∠FAC 又AB=AC，∴△DAB≌△FAC， ∴CF=BD   ∠ACF=∠ABD ∵∠BAC=90°，AB=AC， ∴∠ABC=45°， ∴∠ACF=45° ∴∠BCF=∠ACB+∠ACF=90°． 即CF⊥BD． （2）当∠BCA=45°时，CF⊥BD（如图） 理由是：过点A作AG⊥AC交BC于点G， ∴AC=AG可证：△GAD≌△CAF ∴∠ACF=∠AGD=45°∠BCF=∠ACB+∠ACF=90°， 即CF⊥BD． （3）当具备∠BCA=45°时 过点A作AQ⊥BC交BC于点Q，（如图） ∵DE与CF交于点P时， ∴此时点D位于线段CQ上 ∵∠BCA=45°，可求出AQ=QC=4． 设CD=x， ∴DQ=4+x 容易说明△AQD∽△DCP， ∴ ， ∴ ∴CP= +x， ∵0＜x≤3， ∴当x=3时，CP有最大值5.25．