Question

已知椭圆 的离心率为 ,短轴一个端点到右焦点的距离为 .(1)求椭圆 的方程；(2)设不与坐标轴平行的直线

已知椭圆 的离心率为 ,短轴一个端点到右焦点的距离为 .(1)求椭圆 的方程；(2)设不与坐标轴平行的直线 与椭圆 交于 两点，坐标原点 到直线 的距离为 ，求 面积的最大值.

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Answer 1

(1)椭圆 的方程为 ；(2) 面积的最大值为 ．

试题分析：(1)求椭圆的方程，可利用待定系数法求出 的值即可，依题意， 可得： ，从而可得 的值，即得椭圆的方程；(2)由于直线l是任意的，故可设其方程为 .根据坐标原点 到直线 的距离为 ，可得 与 的关系式，从而将双参数问题变为单参数问题.将 作为底边，则 的高为常数 ，所以要使 的面积最大，就只需 边最大.将 用 或 表示出来便可求得 的最大值，从而求得 的面积的最大值. 试题解析：（1）依题意， 可得： 所以，椭圆 ； （2）坐标原点 到直线 的距离为 ，所以， 联立 可得： 所以， 由题意，得： ，令 ，所以 ， 所以， ．