Question

（1）如图1，以等腰直角△ABC的直角边AB、AC为直角边向外作等腰直角△ABE和△ACD，M是BC的中点，则DE与AM

（1）如图1，以等腰直角△ABC的直角边AB、AC为直角边向外作等腰直角△ABE和△ACD，M是BC的中点，则DE与AM之间的数量关系为______；（2）如图2，以任意直角△ABC的直角边AB、AC为直角边向外作等腰直角△ABE和△ACD，M是BC的中点，则DE与AM之间的数量关系为______；（3）如图3，以任意非直角△ABC的边AB、AC为直角边向外作等腰直角△ABE和△ACD，M是BC的中点，试判断DE与AM之间的数量关系，并说明理由；（4）如图4，若以△ABC的边AB、AC为直角边，向内作等腰直角△ABE和△ACD，其它条件不变，请直接写出线段DE与AM之间的数量关系．

Answer 1

（1）由于△ABC、△ABE和△ACD都是全等的等腰直角三角形，所以AE=AB=AC=AD，且EC⊥BD，则四边形ABCD是正方形，故DE=BC=2AM．

（2）∵△ABE和△ACD都是等腰直角三角形，
∴∠BAE=∠CAD=∠BAC=∠EAD=90°，且AE=AB，AC=AD，
∴△EAD≌△BAC，
∴DE=BC；
而AM是Rt△ABC斜边上的中线，则DE=BC=2AM．

（3）DE=2AM；
理由如下：
延长BA至F，使得BA=AF；
则AM是△BCF的中位线，CF=2AM．
∵∠BAE=∠EAF=∠CAD=90°，
∴∠EAD=∠FAC=90°-∠DAF，
又∵AE=AF=AB，AD=AC，
∴△AED≌△AFC，得DE=CF，
故DE=2AM．

（4）DE=2AM，解法和（3）完全相同．