Question

（2012?湛江模拟）已知抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，A是抛物线上横坐标为4、且位于x轴上方的点，A到抛

（2012?湛江模拟）已知抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，A是抛物线上横坐标为4、且位于x轴上方的点，A到抛物线准线的距离等于5．过A作AB垂直于y轴，垂足为B，OB的中点为M．（1）求抛物线方程；（2）过M作MN⊥FA，垂足为N，求点N的坐标；（3）以M为圆心，MB为半径作圆M，当K（m，0）是x轴上一动点时，讨论直线AK与圆M的位置关系．

Answer 1

已知抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，A是抛物线上横坐标为4、且位于x轴上方的点，A到抛物线准线的距离等于5。过A作AB垂直于y轴，垂足为B，OB的中点为M，
（1）求抛物线的方程；
（2）过M作MN⊥FA，垂足为N，求点N的坐标；
（3）以M为圆心，MB为半径作圆M，当K（m，0）是x轴上一动点时，讨论直线AK与圆M的位置关系。    

Answer 2

（1）抛物线y2＝2px的准线为x＝?

p

2

，于是4+

p

2

＝5，∴p=2．
∴抛物线方程为y²=4x．
（2）∵点A的坐标是（4，4），由题意得B（0，4），M（0，2），
又∵F（1，0），∴kFA＝

4

3

；MN⊥FA，∴kMN＝?

3

4

，
则FA的方程为y=

4

3

（x-1），MN的方程为y?2＝?

3

4

x．*k*s*5*u
解方程组

y＝ 4 3 (x?1) y?2＝? 3 4 x

，得

x＝ 8 5 y＝ 4 5

，∴N(

8

5

，

4

5

)．
（3）由题意得，圆M的圆心是点（0，2），半径为2．
当m=4时，直线AK的方程为x=4，此时，直线AK与圆M相离，
当m≠4时，直线AK的方程为y＝

4

4?m

(x?m)，即为4x-（4-m）y-4m=0，
圆心M（0，2）到直线AK的距离d＝

|2m+8|

16+(m?4)2

，令d＞2，解得m＞1∴当m＞1时，直线AK与圆M相离；
当m=1时，直线AK与圆M相切；
当m＜1时，直线AK与圆M相交．

Answer 3

答案数据

如图所示：