Question

如图，分别以Rt△ABC的斜边AB，直角边AC为边向外作等边△ABD和△ACE，F为AB的中点，DE，AB相交于点G，若

如图，分别以Rt△ABC的斜边AB，直角边AC为边向外作等边△ABD和△ACE，F为AB的中点，DE，AB相交于点G，若∠BAC=30°，下列结论：其中正确结论的序号是______①EF⊥AC；②四边形ADFE为菱形；③AD=4AG；④△DBF≌△EFA．

Answer 1

∵△ABD和△ACE都是等边三角形，
∴AD=BD=AB，AE=CE=AC，∠ADB=∠BAD=∠DBA=∠CAE=∠AEC=∠ACE=60°．
∵F是AB的中点，
∴∠BDF=∠ADF=30°，∠DFA=∠DFB=90°，BF=AF=

1

2

AB．
∵∠BAC=30°，∠ACB=90°，AD=2AF．
∴BC=

1

2

AB，∠ADF=∠BAC，
∴AF=BF=BC．
在Rt△ADF和Rt△BAC中

AD＝BA AF＝BC

，
∴Rt△ADF≌Rt△BAC（HL），
∴DF=AC，
∴AE=AC．
∵∠BAC=30°，
∴∠BAC+∠CAE=∠BAE=90°，
∴∠DFA=∠EAB，
∴DF∥AE，
∴四边形ADFE是平行四边形，故②错误；
∴AD=EF，AD∥EF．
∴∠DAC=∠AHE．
∵∠DAC=∠DAB+∠BAC=90°，
∴∠AHE=90°，
∴EF⊥AC．①正确；
∵四边形ADFE是平行四边形，
∴2GF=2GA=AF．
∴AD=4AG．故③正确．
在Rt△DBF和Rt△EFA中

BD＝FE DF＝EA

，
∴Rt△DBF≌Rt△EFA（HL）．故④正确，
故答案为：①③④．