Question

已知数列{xn}满足x1=4，xn+1＝x2n?32xn?4．（Ⅰ）求证：xn＞3；（Ⅱ）求证：xn+1＜xn；（Ⅲ）求数列{xn}

已知数列{xn}满足x1=4，xn+1＝x2n?32xn?4．（Ⅰ）求证：xn＞3；（Ⅱ）求证：xn+1＜xn；（Ⅲ）求数列{xn}的通项公式．

Answer 1

（Ⅰ）证明：用数学归纳法证明
①当n=1时，x₁=4＞3．所以结论成立．
②假设n=k（n≥1）时结论成立，即x_n＞3，则xn+1?3＝

x 2 n ?3

2xn?4

?3＝

(xn?3)2

2xn?4

＞0．
所以x_n+1＞3．
即n=k+1时，结论成立．
由①②可知对任意的正整数n，都有x_n＞3．（4分）
（Ⅱ）证明：xn+1?xn＝

x 2 n ?3

2xn?4

?xn＝

? x 2 n +4xn?3

2xn?4

＝

?(xn?1)(xn?3)

2xn?4

．
因为x_n＞3，所以

?(xn?1)(xn?3)

2xn?4

＜0，即x_n+1-x_n＜0．
所以x_n+1＜x_n．（9分）
（Ⅲ）解：xn+1?1＝

x 2 n ?3

2xn?4

?1＝

(xn?1)2

2xn?4

，xn+1?3＝

x 2 n ?3

2xn?4

?3＝

(xn?3)2

2xn?4

，
所以

xn+1?1

xn+1?3

＝(

xn?1

xn?3

)2．
又

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