设F（x）=∫x0tf(t)dtx2， x≠0 c， x＝0，其中f（x）具有连续导数且f（0）=0，试确定c使...
设F（x）=∫x0tf(t)dtx2，x≠0c，x＝0，其中f（x）具有连续导数且f（0）=0，试确定c使F（x）连续，并讨论F′（x）是否连续．...
设F（x）=∫x0tf(t)dtx2， x≠0 c， x＝0，其中f（x）具有连续导数且f（0）=0，试确定c使F（x）连续，并讨论F′（x）是否连续．
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解答：设F(x)＝
，其中f（x）具有连续导数且f（0）=0，试确定c使F（x）连续，并讨论F'（x）是否连续．
解：
＝
＝
＝0，…（1分）
故当c=0时，F（x）连续…（2分）
当x≠0时，F′(x)＝
?2
…（3分）F′(0)＝
＝
＝
＝
…（4分）
所以F′(x)＝
…（5分）
并且有
F′(x)＝
＝
＝
．．（6分）
故F'（x）在x=0点连续…（7分）
|
解：
| lim |
| x→0 |
| ||
| x2 |
| lim |
| x→0 |
| xf(x) |
| 2x |
| f(0) |
| 2 |
故当c=0时，F（x）连续…（2分）
当x≠0时，F′(x)＝
| f(x) |
| x |
| ||
| x3 |
| lim |
| x→0 |
| F(x)?F(0) |
| x |
| lim |
| x→0 |
| ||
| x3 |
| lim |
| x→0 |
| f(x) |
| 3x |
| f′(0) |
| 3 |
所以F′(x)＝
|
并且有
| lim |
| x→0 |
| lim |
| x→0 |
x2f(x)?2
| ||
| x3 |
| lim |
| x→0 |
| 2xf(x)+x2f′(x)?2xf(x) |
| 3x2 |
| f′(0) |
| 3 |
故F'（x）在x=0点连续…（7分）
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