设函数f（x）具有连续的一阶导数，且满足f(x)＝∫x0(x2?t2)f′(t)dt+x2，求f（x）的表达式
设函数f（x）具有连续的一阶导数，且满足f(x)＝∫x0(x2?t2)f′(t)dt+x2，求f（x）的表达式．...
设函数f（x）具有连续的一阶导数，且满足f(x)＝∫x0(x2?t2)f′(t)dt+x2，求f（x）的表达式．
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由方程可得 f（0）=0．
由于：
f（x）=
(x2?t2)f′(t)dt+x2
方程两边对x求导得：
f′(x)＝2x
f′(t)dt+2x?f′(x)＝2xf(x)+2x，
此为一阶线性方程，代入一阶线性微分方程解，得：
f(x)＝e∫2xdx(∫2xe?∫2xdxdx+C)＝Cex2?1，
将f（0）=0代入上式得：
C=1，
故f(x)＝ex2?1．
由于：
f（x）=
| ∫ | x 0 |
方程两边对x求导得：
f′(x)＝2x
| ∫ | x 0 |
此为一阶线性方程，代入一阶线性微分方程解，得：
f(x)＝e∫2xdx(∫2xe?∫2xdxdx+C)＝Cex2?1，
将f（0）=0代入上式得：
C=1，
故f(x)＝ex2?1．
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