Question

已知函数f（x）=alnx+ 2 a 2 x +x（a≠0）．（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的

已知函数f（x）=alnx+ 2 a 2 x +x（a≠0）．（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线x-2y=0垂直，求实数a的值；（Ⅱ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅲ）当a∈（-∞，0）时，记函数f（x）的最小值为g（a），求证：g（a）≤ 1 2 e 2 ．

Answer 1

（I）f（x）的定义域为{x|x＞0}，f′（x）= a x - 2 a 2 x 2 +1 （x＞0） 根据题意，有f′（1）=-2，所以2a 2 -a-3=0，解得a=-1或a= 3 2 ． （II） f′(x)= (x-a)(x+2a) x 2 (x＞0) （1）当a＞0时，因为x＞0， 由f′（x）＞0得（x-a）（x+2a）＞0，解得x＞a； 由f′（x）＜0得（x-a）（x+2a）＜0，解得0＜x＜a． 所以函数f（x）在（a，+∞）上单调递增，在（0，a）上单调递减； （2）当a＜0时，因为x＞0， 由f′（x）＞0得（x-a）（x+2a）＞0，解得x＞-2a； 由f′（x）＜0得（x-a）（x+2a）＜0，解得0＜x＜-2a． 所以函数f（x）在（-2a，+∞）上单调递增，在（0，-2a）上单调递减； （III）证明：由（Ⅱ）知，当a∈（-∞，0）时，函数f（x）的最小值为g（a），且g（a）=f（-2a）=aln（-2a）-3a， ∴g′（a）=ln（-2a）-2， 令g′（a）=0，得a=- 1 2 e 2 ． 当a变化时，g′（a），g（a）的变化情况如下表： a （-∞，- 1 2 e 2 ） - 1 2 e 2 （- 1 2 e 2 ，0） g′（a） + 0 - g（a） 极大值 ∴- 1 2 e 2 是g（a）在（-∞，0）上的唯一极值点，且是极大值点，从而也是g（a）的最大值点． 所以g（a） max =g（- 1 2 e 2 ）= 1 2 e 2 ． 所以，当a∈（-∞，0）时，g（a）≤ 1 2 e 2 成立．