Question

如图所示，△ABC内接于圆O，过点A的直线交圆O于点P，交BC的延长线于点D，AB 2 =AP·AD。（1）求证：AB=AC

如图所示，△ABC内接于圆O，过点A的直线交圆O于点P，交BC的延长线于点D，AB 2 =AP·AD。（1）求证：AB=AC； （2）如果∠ABC=60°，圆O的半径为1，且P为 的中点，求AD的长。

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Answer 1

解：（1）连结BP， ∵AB 2 =AP·AD ∴ ， ∵∠BAD=∠PAB， ∴△ABD∽△APB， ∴∠ABC=∠APB， 又∵∠APB=∠ACB， ∴∠ABC=∠ACB， ∴AB=AC； （2）由（1）知AB=AC， ∴∠ABC=60°， ∴△ABC为等边三角形， ∴∠BAC=60° ∵P为 的中点， ∴∠ABP=∠PAC= ∠ABC=30° ∴∠BAP=∠BAC+∠PAC=90° ∴BP为直径， ∴BP=2， ∴AP= BP=1， ∴AB 2 =BP 2 -AP 2 =3 ∵AB 2 =AP·AD ∴AD= =3。