Question

如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB，CD⊥AB，垂足是点D，E是BC上一点，CE=AF，（1）探索△DEF是怎样的

如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB，CD⊥AB，垂足是点D，E是BC上一点，CE=AF，（1）探索△DEF是怎样的一个三角形，并进行证明．（2）证明：S四边形CFDE=12S△ABC．

Answer 1

（1）△DEF是等腰直角三角形．
证明：∵在△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB，
∴△ABC是等腰直角三角形；
又CD⊥AB，
∴CD是斜边AB上的中垂线，∠ACB的角平分线，
∴AD=CD=BD，∠A=∠B=∠ACD=∠BCD=45°；
在△AFD和△CED中，

AF=CE(已知) AD=CD ∠A=∠ECD

，
∴△AFD≌△CED（SAS），
∴DF=DE（全等三角形的对应边相等），∠ADF=∠CDE（全等三角形的对应角相等），
∴∠FDC+∠ADF=∠CDE+∠FDC，即∠ACD=∠EDF=90°，
∴∠EDF=90°，
∴△DEF是等腰直角三角形；

（2）证明：由（1）知，△AFD≌△CED，
∴S_△AFD=S_△CED（全等三角形的面积相等）；
又∵S_{四边形CFDE}=S_△CFD+S_△CED，
∴S_{四边形CFDE}=S_△CFD+S_△AFD=S_△ACD；
∵△ABC是等腰直角三角形，CD是斜边AB上的中垂线，
∴S_△ACD=

1

2

S_△ABC，
∴S_{四边形CFDE}=

1

2

S_△ABC．