Question

设二阶线性方程y″+p（x）y′+q（x）y=f（x）有三个特解y1=x，y2＝ex，y3＝e2x．（Ⅰ）试求此方程满足条

设二阶线性方程y″+p（x）y′+q（x）y=f（x）有三个特解y1=x，y2＝ex，y3＝e2x．（Ⅰ）试求此方程满足条件y（0）=1，y′（0）=3的特解；（Ⅱ）求函数y=y（x）的极值．

Answer 1

（1）利用微分方程解的性质可得，e^x-x与e^2x-x均为齐次方程的解，
故利用线性微分方程解的结构定理可得，可设方程的通解为：
y=y（x）=C₁（e^x-x）+C₂（e^2x-x）+x．
由y（0）=C₁+C₂=1，
y′（0）=C₂+1=3，
可得：C₁=-1，C₂=2．
故满足y（0）=1，y′（0）=3的特解为：
y=y（x）=-（e^x-x）+2（e^2x-x）+x=2e^2x-e^x．
（2）因为y=y（x）=2e^2x-e^x，
令y′（x）=4e^2x-e^x=e^x（4e^x-1）=0可得f（x）的唯一驻点为：
x=ln

1

4

=-2ln2．
又因为y″（x）=8e^2x-e^x=e^x（8e^x-1），
y″（-2ln2）=

1

4

(8×

1

4

?1)=

1

4

＞0，
所以x=-2ln2为y（x）的极小值点．