Question

已知，M是等边△ABC边BC上的点．（1）如图1，过点M作MN∥AC且交于点N，求证：BM=BN；（2）如图2，连接AM

已知，M是等边△ABC边BC上的点．（1）如图1，过点M作MN∥AC且交于点N，求证：BM=BN；（2）如图2，连接AM，过点M作∠AMH=60°，MH与∠ACB的邻补角的平分线交与点H，过H作HD⊥BC于点D．求证：MA=MH．

Answer 1

（1）∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠B=∠C=60°，AB=BC=AC．
∵MN∥AC，
∴∠BMN=∠C=60°，∠BNM=∠A=60°．
∴∠BMN=∠BNM=∠B=60°，
∴△BNM是等边三角形，
∴BM=BN；

（2）过点M作MN∥AC交AB于N，
∴BM=BN，∠ANM=120°．
∵∠AMH=60°，
∴∠AMB+∠HMC=120°．
∵∠B=60°，
∴∠AMB+∠BAM=120°．
∴∠HMC=∠BAM．
∵∠ACB=60°，
∴∠ACD=120°．
∵CH平分∠ACD，
∴∠ACH=

1

2

∠ACD=60°，
∴∠MCH=120°，
∴∠ANM=∠MCH．
∵AB=BC，
∴AB-BN=BC-BM，
∴AN=BC．
在△ANM和△MCH中，

∠BAM＝∠HMC AN＝BC ∠ANM＝∠MCH

，
∴△ANM≌△MCH（ASA），
∴MA=MH．