Question

已知实数a≠0，函数f（x）=ax（x-2）2（x∈R）（Ⅰ）若函数f（x）有极大值32，求实数a的值；（Ⅱ）若对于

已知实数a≠0，函数f（x）=ax（x-2）2（x∈R）（Ⅰ）若函数f（x）有极大值32，求实数a的值；（Ⅱ）若对于x∈[-2，1]，不等式f(x)＜329恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）由题意f（x）=ax³-4ax²+4ax，故f'（x）=3ax²-8ax+4a=a（3x-2）（x-2），
令f'（x）=0解得x=2或x＝

2

3

，
∵f（x）有极大值32，
而f（2）=0
∴f(

2

3

)＝32，代入原函数解出a=27．
（Ⅱ）f'（x）=a（3x-2）（x-2），由f′（x）=0得出x=2或x=

2

3

．列表如下：
当a＞0时，f(x)max＝f(

2

3

)＝

32

27

a＜

32

9

?a＜3，∴0＜a＜3
当a＜0时，
∴f(x)max＝?32a＜

32

9

?a＞?

1

9

，∴?

1

9

 ＜a＜0
综上a∈(?

1

9

，0)∪(0，3)．