设a是实数,函数f(x)=4x+|2x-a|(x∈R).(1)求证:函数f(x)不是奇函数;(2)当a≤0时,求满足f(

设a是实数,函数f(x)=4x+|2x-a|(x∈R).(1)求证:函数f(x)不是奇函数;(2)当a≤0时,求满足f(x)>a2的x的取值范围;(3)求函数y=f(x)... 设a是实数,函数f(x)=4x+|2x-a|(x∈R).(1)求证:函数f(x)不是奇函数;(2)当a≤0时,求满足f(x)>a2的x的取值范围;(3)求函数y=f(x)的值域(用a表示). 展开
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2014-09-04 · TA获得超过121个赞
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解答:(1)证明:假设f(x)是奇函数,那么对于一切x∈R,有f(-x)=-f(x),
从而f(-0)=-f(0),即f(0)=0,但是f(0)=40+|20-a|=1+|1-a|≠0,矛盾.
∴f(x)不是奇函数;
(2)解:∵2x>0,4x>0,
∴当a≤0时,f(x)=4x+2x-a,
由f(x)>a2,得4x+2x-a>a2,即4x+2x-a(a+1)>0,(2x-a)(2x+a+1)>0,
∵2x-a>0,
∴2x+a+1>0,即2x>-(a+1).
①当a+1≥0,即-1≤a≤0时,2x>-(a+1)恒成立,
故x的取值范围是(-∞,+∞);
②当a+1<0,即a<-1时,
由2x>-(a+1),得x>log2[-(a+1)],
故x的取值范围是(log2[-(a+1)],+∞);
(3)解:令t=2x,则t>0,原函数变成y=t2+|t-a|.
①若a≤0,则y=t2+t-a在t∈(0,+∞)上是增函数,值域为(-a,+∞).
②若a>0,则y=
t2?t+a,0<t≤a
t2+t?a,t>a

对于0<t≤a,有y=(t?
1
2
)2+a?
1
4

当0<a<
1
2
时,y是关于t的减函数,y的取值范围是[a2,a);
a≥
1
2
时,ymin=a?
1
4

1
2
≤a<1
时,y的取值范围是[a?
1
4
,a)

当a≥1时,y的取值范围是[a?
1
4
a2]

对于t>a,有y=t2+t-a=(t+
1
2
)2?a?
1
4
是关于t的增函数,
其取值范围(a2,+∞).
综上,当a≤0时,函数y=f(x)的值域是(-a,+∞);
0<a<
1
2
时,函数y=f(x)的值域是[a2,+∞);
a≥
1
2
时,函数y=f(x)的值域是[a?
1
4
,+∞)
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