Question

如图，AB为⊙O直径，且弦CD⊥AB于，过点的切线与AD的延长线交于点．（1）若M是AD的中点，连接ME并延长ME

如图，AB为⊙O直径，且弦CD⊥AB于，过点的切线与AD的延长线交于点．（1）若M是AD的中点，连接ME并延长ME交BC于N．求证：MN⊥BC．（2）若cos∠C=45，DF=3，求⊙O的半径．（3）猜测线段AE、BE、CN、CB之间有怎样的数量关系？证明你的猜想．

Answer 1

（1）证明：∵弦CD⊥AB，M是AD的中点，
∴MA=ME，
∴∠A=∠AEM，
而∠AEM=∠BEN，∠ADE=∠EBN，
∴∠BEN+∠EBN=∠A+∠ADE=90°，
∴∠ENB=90°，
∴MN⊥BC；

（2）解：连BD，如图，
∵AB为直径，
∴∠ADB=90°，
又∵FB为⊙O的切线，
∴AB⊥BF，
∴∠ABF=90°，
∴Rt△FBD∽Rt△FAB，
∴FB：AF=DF：BF，即FB²=FD?FA，
∵∠A=∠C，cos∠C=

4

5

，
∴cos∠A=

4

5

，
在Rt△ABF中，cos∠A=

AB

AF

=

4

5

，不妨设AB=4x，则AF=5x，
∴BF=

(5x)2?(4x)2

=3x，
∴（3x）²=3?5x，解得x₁=

5

3

，x₂=0
∴x=

5

3

，
∴AB=4x=

20

3

，
∴⊙O的半径为

10

3

；

（3）解：线段AE、BE、CN、CB之间的数量关系为AE?BE=CN?CB．理由如下：
∵AB⊥CD，
∴CE=DE，∠AED=90°，
而∠ADB=90°，
∴∠A=EDB，
∴Rt△AED∽Rt△DEB，
∴AE：DE=DE：BE，即DE²=AE?BE①，
又∵∠CEB=∠CNE=90°，
∴Rt△CEB∽Rt△CNE，
∴CE：CN=CB：CE，即CE²=CN?CB②，
由①②得AE?BE=CN?CB．