Question

（11·大连）（本题12分）在△ABC中，∠A＝90°，点D在线段BC上，∠EDB＝ ∠C，BE⊥DE，垂足为E，DE与AB

（11·大连）（本题12分）在△ABC中，∠A＝90°，点D在线段BC上，∠EDB＝ ∠C，BE⊥DE，垂足为E，DE与AB相交于点F．（1）当AB＝AC时，（如图13），① ∠EBF＝_______°；② 探究线段BE与FD的数量关系，并加以证明；（2）当AB＝kAC时（如图14），求 的值（用含k的式子表示）．

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Answer 1

解：（1）①22.5°…………………………2分 证明：如图1，过点D作DG∥CA，与BE的延长线相交于点G，与AB相交于点H 则∠GDB＝∠C   ∠BHD＝∠A＝90°＝∠GHB 又∵DE＝DE，∠DEB＝∠DEG＝90° ∴△DEB≌△DEG ∵AB＝AC   ∠A＝90° ∴∠ABC＝∠C＝∠GDB ∴HB＝HD ∵∠DEB＝∠BHD＝90°    ∠BFE＝∠DFH ∴∠EBF＝∠HDF ∴△GBH≌△FDH ∴GB＝FD…………………………6分 （2）如图1，过点D作DG∥CA，与BE的延长线相交于点G，与AB相交于点H 又∵DG∥CA ∴△BHD∽△BAC 第二种解法： 解：（1）①∵AB＝AC∠A＝90° ∴∠ABC＝∠C＝45° ∵∠EDB＝ ∠C ∴∠EDB＝22.5° ∵BE⊥DE ∴∠EBD＝67.5° ∴∠EBF＝67.5°－45°＝22.5° ②在△BEF和△DEB中 ∵∠E＝∠E＝90° ∠EBF＝∠EDB＝22.5° ∴△BEF∽△DEB 如图：BG平分∠ABC， ∴BG＝GD△BEG是等腰直角三角形 设EF＝x，BE＝y， 则：BG＝GD＝ y FD＝ y＋y－x ∵△BEF∽△DEB ∴ ＝ 即： ＝ 得：x＝（ －1）y ∴FD＝ y＋y－（ －1）y＝2y ∴FD＝2BE． （2）如图：作∠ACB的平分线CG，交AB于点G， ∵AB＝kAC ∴设AC＝b，AB＝kb，BC＝ b 利用角平分线的性质有： ＝ 即： ＝ 得：AG＝ ∵∠EDB＝ ∠ACB ∴tan∠EDB＝tan∠ACG＝ ∵∠EDB＝ ∠ACB ∠ABC＝90°－∠ACB ∴∠EBF＝90°－∠ABC－∠EDB＝ ∠ACB ∴△BEF∽△DEB ∴EF＝ BE ED＝ BE＝EF＋FD ∴FD＝ BE－ BE＝ BE． ∴ ＝ ．

略