Question

已知函数 f(x)=|x-a|- a 2 lnx ，a∈R．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若函数f（x）有两个

已知函数 f(x)=|x-a|- a 2 lnx ，a∈R．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若函数f（x）有两个零点x 1 ，x 2 ，（x 1 ＜x 2 ），求证：1＜x 1 ＜a＜x 2 ＜a 2 ．

Answer 1

（1）由题意，函数的定义域为（0，+∞）， 当a≤0时， f(x)=|x-a|- a 2 lnx=x-a- a 2 lnx ， f′(x)=1- a 2x ＞0 ， 函数f（x）的单调递增区间为（0，+∞），…3分 当a＞0时， f(x)=|x-a|- a 2 lnx= x-a- a 2 lnx  ，x≥a a-x- a 2 lnx，  0＜x＜a ，…5分 若x≥a， f′(x)=1- a 2x = 2x-a 2x ＞0 ，此时函数f（x）单调递增， 若x＜a， f′(x)=-1- a 2x ＜0 ，此时函数f（x）单调递减， 综上，当a≤0时，函数f（x）的单调递增区间为（0，+∞）； 当a＞0时，函数f（x）的单调递减区间为（0，a）；单调递增区间为（a，+∞）． …7分 （2）由（1）知，当a≤0时，函数f（x）单调递增， 此时函数至多只有一个零点，不合题意；                      …8分 则必有a＞0，此时函数f（x）的单调递减区间为（0，a）；单调递增区间为（a，+∞）， 由题意，必须 f(a)=- a 2 lna＜0 ，解得a＞1，…10分 由 f(1)=a-1- a 2 ln1=a-1＞0 ，f（a）＜0， 得x 1 ∈（1，a），…12分 而f（a 2 ）=a 2 -a-alna=a（a-1-lna）， 下面证明：a＞1时，a-1-lna＞0 设g（x）=x-1-lnx，x＞1 则 g′(x)=1- 1 x = x-1 x ＞0 ， 所以g（x）在x＞1时递增，则g（x）＞g（1）=0， 所以f（a 2 ）=a 2 -a-alna=a（a-1-lna）＞0， 又f（a）＜0， 所以x 2 ∈（a，a 2 ）， 综上，1＜x 1 ＜a＜x 2 ＜a 2 ．                     …16分