Question

如图，平面直角坐标系中，点O（0，0）、A（1，0），过点A作x轴的垂线交直线y=x于点B，以O为圆心，OA为半

如图，平面直角坐标系中，点O（0，0）、A（1，0），过点A作x轴的垂线交直线y=x于点B，以O为圆心，OA为半径的圆交y轴于C、D两点，抛物线y=x2+bx+c经过B、D．（1）求b，c的值；（2）设抛物线的对称轴交x轴于点E，连接DE并延长交⊙O于F，求EF的长；（3）若⊙O交x轴负半轴于点G，过点C作⊙O的切线交DG的延长线于点P．探究：点P是否在抛物线上？请说明理由．

Answer 1

（1）点B（1，1），D（0，-1），
将B（1，1），D（0，-1），代入y=x²+bx+c，得b=1，c=-1；

（2）由y＝x2+x?1＝(x+

1

2

)2?

5

4

，∴DE=

OE2+1

＝

5

2

．
连接CF，由△CFD∽△EOD，得

CD

ED

＝

FD

OD

，
∴FD=

4 5

5

，∴EF=FD-DE=

3 5

10

（3）点P在抛物线上．
设过D、G点的直线为：y=kx+b，
将点G（-1，0），D（0，-1）代入y=kx+b，
得直线DG为：y=-x-1．
过点C作⊙O的切线CP与x轴平行，P点的纵坐标为1，
将y=1代入y=-x-1，得：x=-2．
∴P点的坐标为（-2，1）
又当x=-2时，y=x²+x-1=1，
∴P点在抛物线y=x²+x-1上．