Question

设a、b、c为△ABC的三边，且满足a＞b＞c，2b=a+c，a2+b2+c2=84，求正整数b的值

设a、b、c为△ABC的三边，且满足a＞b＞c，2b=a+c，a2+b2+c2=84，求正整数b的值．

Answer 1

∵4b²=a²+2ac+c²，b²=84-a²-c²，
∴2b=a+c，2ac=4b²-a²-c²．
∵a＞0，c＞0，由均值不等式，a²+c²≥2ac，即a²+c²≥4b²-a²-c²，
∴a²+c²≥2b²．
∵a²+b²+c²=84，
∴84≥2b²+b²=3b²，
解得：b²≤28，
又∵b是正整数，
∴b的可能取值是5，4，3，2，1．
若b=3，则c＜3，a＜b+c＜6．
则a²+b²+c²＜54＜84，
∴b＞3，即b可能取值是4或5．
若b=4，则a+c=2b=8，a²+16+c²=84，
联立上边的两式得：c=10＞b．
∴b≠4．
∴b=5．