Question

（2014?海门市模拟）如图，在平面直角坐标系中有Rt△ABC，∠ACB=90°，A（0，1），C（-2，0），且BCAC=3

（2014?海门市模拟）如图，在平面直角坐标系中有Rt△ABC，∠ACB=90°，A（0，1），C（-2，0），且BCAC=3．（1）求点B的坐标；（2）将Rt△ABC沿x轴的正方向平移一定距离到Rt△A1B1C1位置，A，B 两点的对应点A1，B1恰好落在反比例函数y=kx的图象上，求反比例函数的解析式和点C1的坐标；（3）在（2）的条件下，点Q为反比例函数y=kx（x＞0）的图象上的一点，问在x轴上是否存在点P，使得△PQC1∽△ABC？若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）过点B作BD⊥x轴，垂足为点D，
则∠BDC=∠ACB=∠AOC=90°，
∴∠DCB+∠DBC=90°，∠DCB+∠ACO=90°，
∴∠DBC=∠ACO，
∴△BDC∽△COA，
∴

BD

CO

＝

DC

AO

=

BC

AC

＝3，
∵A（0，1），C（-2，0），
∴OA=1，OC=2，
∴BD=6，DC=3，
∴点B的坐标（-5，6）；

（2）由平移，设A₁（m，1），B₁（n，6），
由平移，得m-n=5，
由A₁，B₁恰好落在反比例函数y＝

k

x

的图象上，得m=6n，
∴m=6，n=1，
∴反比例函数的解析式为：y＝

6

x

，点C₁的坐标为：（4，0）；

（3）存在，要使△PQ C₁∽△ABC，则需∠PC₁Q=∠ACB=90°，
过点C₁作C₁Q⊥x轴，交y＝

6

x

为点Q，
要使△PQC₁∽△ABC，由已知

BC

AC

＝3，则需

C1Q

PC1

＝3，
由C₁（4，0），得Q（4，

3

2

），
∴QC₁=

3

2

，PC₁=

1

2

，
∴点P的坐标（

7

2

，0），（

9

2

，0）．