Question

设二维随机变量（X，Y）的联合密度函数为f（x，y）=kxy，0≤x≤y≤10，其它，求（1）常数k；（2）随机变

设二维随机变量（X，Y）的联合密度函数为f（x，y）=kxy，0≤x≤y≤10，其它，求（1）常数k；（2）随机变量X与Y的边际密度函数；（3）判断随机变量X与Y是否独立；（4）P（X+Y≥1）．

Answer 1

（1）由于

∫

+∞ ?∞

∫

+∞ ?∞

f(x，y)dxdy＝1，即

∫

1 0

dx

∫

1 x

kxydy＝

1

2

k

∫

1 0

x(1?x2)dx＝

1

8

k＝1
∴k=8
（2）∵fX(x)＝

∫

+∞ ?∞

f(x，y)dy=

∫

1 x

8xydy＝4x(1?x2)，0≤x≤1
fY(y)＝

∫

+∞ ?∞

f(x，y)dx=

∫

y 0

8xydx＝4y3，0≤y≤1
∴fX(x)＝

4x(1?x2) ，0≤x≤1 0 ，其它

，fY(y)＝

4y3 ，0≤y≤1 0 ，其它

（3）由（2）知，fX(x)?fY(y)＝4x(1?x2)y3≠f（x，y），0≤x≤y≤1
∴随机变量X与Y不独立
（4）P（X+Y≥1）=

∫∫

x+y≥1

f(x，y)dxdy
=8

∫

1 1 2

ydy

∫

y 1?y

xdx=4

∫

1 1 2

y(2y?1)dy
=

5

24

．

Answer 2