Question

初三二次函数与定点定值

Answer 1

既然题目叫你证明直线过定点,那麼你就把那个点找出来,证明所有过这个点的直线都满足题目条件就可以了.这就是数学上常用的"同一法".
M(1,0)
当AB∥x轴时,由对称性得∠AMx=∠BMO=45°

∴设MA:y=x-1,联立抛物线方程得A(3,2),∴AB方程为y=2
当AB和x轴不平行时,在抛物线上M的右边任意找一点(2,1/2)为A,则kMA=1/2
∵MA⊥MB,∴kMB=-2
∴MB:y=-2(x-1),联立抛物线方程解得B(-3,8),∴AB:y=-3/2*x+7/2
∴定点P(1,2)

又∵AB和抛物线有两个交点,∴AB有斜率,设AB:y-2=k(x-1),联立抛物线方程得
x²-(2+2k)x+(2k-3)=0.韦达定理得x1+x2=2+2k,x1x2=2k-3
设A(x1,kx1+2-k),B(x2,kx2+2-k),则MA→=(x1-1,kx1+2-k),MB→=(x2-1,kx2+2-k)
MA→·MB→=(x1-1)(x2-1)+(kx1+2-k)(kx2+2-k)
=x1x2-(x1+x2)+1+k²x1x2+k(2-k)(x1+x2)+(2-k)²
=2k-3-2-2k+1+k²(2k-3)+k(2-k)(2+2k)+(2-k)²
=0
即MA⊥MB,这表示过(1,2)的直线都满足题意
∴AB过定点(1,2)

Answer 2

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