Question

一道多元函数求极限的题目

求lim(x->0 y->0)时(x*y)/sqrt(x^2+y^2)的极限
我知道正确答案是按照夹逼定理证明得到极限为0
但是如果我按照两条特殊路径求极限就会得到极限不存在
lim(x->0 y->0 y=x)时(x*y)/sqrt(x^2+y^2)=1/sqrt(2)
lim(x->0 y->0 y=-x)时(x*y)/sqrt(x^2+y^2)=-1/sqrt(2)
求助啊 我的做法错来哪里了呢
除了这道题，我其实更想知道的是，一个多元函数的极限如何才能知道他的存在性。现在的情况是一道题目，当我假定他存在的时候我通过方法可以求出他的值，当我假定他不存在的时候我又可以证明它不存在。这个肯定是错的，只是不知道错在哪。如果你能解决我的问题，肯定给30分悬赏！

Answer 1

那两个极限最后答案都错了，这种题也可以化成极坐标来求

追问

请问为什么错了呢？
lim(x->0 y->0 y=x)时
(x*y)/sqrt(x^2+y^2)
=(x*x)/sqrt(x^2+x^2)
=(x^2)/sqrt(2*x^2)
=1/sqrt(2)

我就是想知道这么做错在哪了

追答

就是最后一步错了