Question

设函数f(x)具有连续的二阶导数，f'(0)=0,且满足1-（1/5）∫(下限是0，上限是x)[f''(t)+4f(t)]dt,求f(x)

这是微分方程问题

Answer 1

在等式中取x=0，得到f(0)=1★
对等式两边求导得到
f'(x)=(1/5)[f' ' (x)+4f(x)]★★
记y=f(x)，则★★成为y ' '-5y ' +4y=0☆
☆是二阶常系数齐次线性微分方程，
求出该方程☆的满足初始条件★及f ' (0)=0的特解就是本题所要求的。
☆的特征方程是rr-5r+4=0，根是r=1和r=4，
所以☆的通解是Y=C1e^x+C2e^(4x)，
再用初始条件解出C1与C2即得。