Question

高一 数学 等差数列 请详细解答,谢谢! (5 13:21:39)

已知数列{an}的前n项的和为Sn，且满足a1=1/2,an+2SnSn-1=0(n≥2)
（1）证明：数列{1/Sn}是等差数列
（2）求数列{an}的通项公式
 
[最好给我详细的解题过程，谢谢]

Answer 1

Sn*S(n-1)=-an/2
Sn-S(n-1)=an
所以[Sn-S(n-1)]/Sn*S(n-1)=-2
Sn/Sn*S(n-1)-S(n-1)/Sn*S(n-1)=-2
1/S(n-1)-1/Sn=-2
1/Sn-1/S(n-1)=2
1是常数
所以1/Sn是等差数列

S1=a1=1/2
1/S1=2
1/Sn是等差数列，且d=1/Sn-1/S(n-1)=2，1/S1=2
所以1/Sn=2+(n-1)*2=n
Sn=1/n
所以 S(n-1)=1/(n-1)=1/(n-1)
所以an=Sn-S(n-1)=1/n-1/(n-1)=-1/(n^2-n)
a1=1/2,不符合an=-1/(n^2-n)
所以
n=1,an=1/2
n>=2,an=-1/(n^2-n)

Answer 2

上面的是错的

(1)∵an=Sn-Sn-1
∴Sn-Sn-1+2SnSn-1=0
两边同时除以SnSn-1得
1/Sn-1/Sn-1=2
其中1/S1=2
∴数列{1/Sn}是首项为2，公差为2的等差数列

（2）由1得1/Sn=2n
所以Sn=1/(2n)
当n≥2时，Sn-1=1/(2n-2)
∵an=Sn-Sn-1
∴an=-1/(2n^2-2n)

综上得,
n=1时，an=1/2
n≥2时an=-1/(2n^2-2n)

Answer 3

(1)证明：
an=Sn-Sn-1=-2SnSn-1，
两边同除-SnSn-1,
(1/Sn)-(1/Sn-1)=2,
所以：数列{1/Sn}是等差数列

1/Sn=1/S1+2(n-1),
s1=a1=1/2
1/Sn=2+2(n-1)
1/Sn=2n

所以：Sn=1/（2n),

an=Sn-Sn-1

an=2[1/（2n)]-[(1/（2n-2)]
an=-1/(2n^2-2n)

n=1,an=1/2
n≥2,an=-1/(2n^2-2n)

Answer 4

解：
（1）an + 2SnSn-1=0(n>=2)
Sn-Sn-1+2SnSn-1=0
Sn-1-Sn=2SnSn-1
(Sn-1-Sn)/(SnSn-1)=2
1/Sn -1/(Sn-1)=2
所以{1/Sn}是等差数列