Question

已知在三角形ABC中AB等于AC,点P在直线BC上PD垂直AB于点D,PE垂直AC于点E,BH是

角形ABC的高。1.当点P在边BC上时，求证：PD加上PB等于BH。2.当点p在边BC的延长线上时,试探索皮的PD，PE和BH之间数量关系。

Answer 1

1.过点C做AB的高，交于点M，△BDP和△BMC相似，△CEP和△CHB相似，又因为三角形ABC是等腰三角形，所以BH=CM，所以PD:CM=BP:BC=K1，PE:BH=PC:PC:BC=K2，所以PD=K1*CM=K1*BH，PE=K2*BH，BP=K1*BC，PC=K2*BC，所以BP+PC=BC=K1*BC+K2*BC=(K1+K2)*BC，所以K1+K2=1，所以PD+PE=K1*BH+K2*BH=(K1+K2)*BH=BH
2.△PDB与△BHC相似，△PCE与△BCH相似，所以PD:BH=PB:BC=K3，PE:BH=PC:BC=K4，所以PD=K3*BH,PB=K3*BC,
PE=K4*BH,PC=K4*BC，所以PB-PC=BC=K3*BC-K4*BC=(K3-K4)*BC，所以K3-K4=1，所以PD-PE=K3*BH-K4*BH=BH