高等数学，定积分的应用。第4题求解，要详细过程 20
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4. 该摆线 绕 水平直线 y = 2a 旋转体的体积，
等于 底面半径是 2a，高是 2πa 的圆柱体减去
该摆线 绕 x 轴 旋转体的体积
V = 8π^2a^3 - ∫<0, 2πa> y^2dx
= 8π^2a^3 - a^3∫<0, 2π> (1-cost)^3dt
= 8π^2a^3 - a^3∫<0, 2π> [1-3cost+3(cost)^2-(cost)^3]dt
= 8π^2a^3 - a^3∫<0, 2π> [5/2-3cost+(3/2)(cos2t)-(cost)^3]dt
= 8π^2a^3 - a^3[5t/2-3sint+(3/4)sin2t-sint+(1/2)(sint)^3]<0, 2π>
= 8π^2a^3 - 5πa^3 = π(8π-5)a^3
等于 底面半径是 2a，高是 2πa 的圆柱体减去
该摆线 绕 x 轴 旋转体的体积
V = 8π^2a^3 - ∫<0, 2πa> y^2dx
= 8π^2a^3 - a^3∫<0, 2π> (1-cost)^3dt
= 8π^2a^3 - a^3∫<0, 2π> [1-3cost+3(cost)^2-(cost)^3]dt
= 8π^2a^3 - a^3∫<0, 2π> [5/2-3cost+(3/2)(cos2t)-(cost)^3]dt
= 8π^2a^3 - a^3[5t/2-3sint+(3/4)sin2t-sint+(1/2)(sint)^3]<0, 2π>
= 8π^2a^3 - 5πa^3 = π(8π-5)a^3
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