Question

空间有4个不共面的定点，以这4个点为顶点的平行六面体的个数是多少

Answer 1

解法一：空间四个不共面的点可以构成一个四面体，下称原四面体。原四面体中可以有三个面、两个面、一个面或0个面为平行六面体的面。

　　当三个面时，先从原四面体中选定三个面，这三个面构成平行六面体的一个三面角，这一个三面角对应一个平行六面体。故共有C(3 4)*1=4个。

　　当两个面时，先从原四面体中选定两个面，这两个面构成的二面角随之确定，由一个面的三角形扩为平行四边形，有两种情况，故共有C(2 4)*2=12个。

　　当一个面时，先从原四面体中选定一个面，由这个面的三角形扩为平行四边形，共有3种情况，故共有C(1 4)*3=12个。

　　当0个面时，原四面体的两条相对棱分别是平行六面体的两个相对平行平面的对角线，（互为异面直线）故共有一个。

　　综上可得，共有4+12+12+1=29个不同平行六面体。